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2005年10月筆者參加了江蘇省教育廳組織的為期一個(gè)月的數(shù)學(xué)教師赴英國(guó)培訓(xùn)項(xiàng)目。在英國(guó)曼徹斯特城的“蘇曼”教師培訓(xùn)中心，聆聽了英國(guó)文化部教育官員和中小學(xué)教師的專題講座，并與英國(guó)同行進(jìn)行了座談和交流，同時(shí)參觀訪問了當(dāng)?shù)鼐哂写硇缘闹行W(xué)。

一、英國(guó)中小學(xué)教育的總體印象

英國(guó)教師認(rèn)為：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是以自然的方式進(jìn)行，就如同學(xué)游泳一樣，不下水練習(xí)，不嗆水，就學(xué)不會(huì)游泳。英國(guó)教育非常注重培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立學(xué)習(xí)能力，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生廣泛閱讀，深入研究，并就所學(xué)內(nèi)容提出疑問，不斷思考。

在課程設(shè)置方面，從初中起，學(xué)生就可以選擇自己喜歡的專業(yè)，一般選三至五門學(xué)科，其中不包括英語(yǔ)。義務(wù)教育（5～16歲，其中5～11歲為小學(xué)，中學(xué)分兩個(gè)階段：11～16歲為中學(xué)第一階段）后，學(xué)生參加GCSE（相當(dāng)于我國(guó)初中畢業(yè)文憑）考試，進(jìn)入第6學(xué)級(jí)（也稱為第五學(xué)段，16～19歲為中學(xué)第二階段，相當(dāng)于我國(guó)高中時(shí)期）的學(xué)生分流，一部分人學(xué)習(xí)A-Level（高級(jí)水平）課程，準(zhǔn)備升入大學(xué)；另一部分人學(xué)習(xí)GNVQ課程（國(guó)家通用職業(yè)資格教育），準(zhǔn)備就業(yè)。學(xué)生從11歲開始學(xué)習(xí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)和純數(shù)學(xué)兩大領(lǐng)域四大門類（機(jī)械學(xué)，純數(shù)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，離散數(shù)學(xué)），學(xué)生在A-Level時(shí)自選四大類中的17本書學(xué)習(xí)，學(xué)生可以選3,6,9,12,15本學(xué)習(xí)，每本書單獨(dú)考試，每3本組成一個(gè)成績(jī)（一個(gè)證書），當(dāng)然學(xué)生也可以選擇有關(guān)未來大學(xué)科目的書目學(xué)習(xí)。

英國(guó)的普通高中稱為“學(xué)院”（大學(xué)預(yù)科），在上課方式方面，學(xué)生實(shí)行“走班制”，即學(xué)生沒有固定的教室，比如上數(shù)學(xué)課的教室就是數(shù)學(xué)教師的“家”，教師按照自己的喜好布置教室，坐等學(xué)生來上課。對(duì)學(xué)生進(jìn)行分層次教學(xué)，相同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生被安排在一起。在獨(dú)立學(xué)習(xí)方面，英國(guó)的每個(gè)中學(xué)生都能開展課題研究，撰寫小論文等。

二、英國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的特點(diǎn)

1．注重區(qū)別化

區(qū)別化是英國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)顯著特點(diǎn)，在英國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程大綱、教材和教學(xué)方法等方面有明顯的反映：“水平考試”的區(qū)別化；第6學(xué)級(jí)數(shù)學(xué)課程的分流并實(shí)行必修加選修的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)廣泛的彈性課程；教材的多樣性以及教學(xué)進(jìn)度的靈活性等等。

英國(guó)的數(shù)學(xué)教育由“英才教育”轉(zhuǎn)向“普及教育”，多級(jí)水平的課程和考試正適應(yīng)了這一要求，這極大程度地照顧了大多數(shù)學(xué)生的發(fā)展。因此，不要奇怪試卷上可能寫著適合15、16歲學(xué)生的字樣。學(xué)生的智力水平、興趣愛好和學(xué)習(xí)發(fā)展的速度各不相同，學(xué)生在明確自己與別人差距的同時(shí)，通過多級(jí)考試也能看到自己的進(jìn)步。從一個(gè)較低的水平級(jí)上升到一個(gè)較高的水平級(jí)，會(huì)受到學(xué)校和教師的肯定和鼓勵(lì)，這有利于樹立學(xué)生的自信心，這種自信心又成為學(xué)生新的奮進(jìn)的動(dòng)力，這種動(dòng)力和鼓勵(lì)促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的良性循環(huán)。

在教學(xué)內(nèi)容安排上，實(shí)行區(qū)別化大綱，針對(duì)中學(xué)生的各種能力水平設(shè)計(jì)不同的數(shù)學(xué)課程；在教學(xué)目標(biāo)上實(shí)現(xiàn)水平區(qū)別化，對(duì)于同一學(xué)段的學(xué)生所要達(dá)到的目標(biāo)水平有很大的彈性；在數(shù)學(xué)活動(dòng)的組織上，同一年齡段的學(xué)生，按其能力水平不同，創(chuàng)造條件使學(xué)生按各自的進(jìn)度，安排學(xué)習(xí)活動(dòng)。例如，筆者曾訪問的一所中學(xué)，其九年級(jí)（相當(dāng)于中國(guó)初二）學(xué)生的數(shù)學(xué)課被分成三個(gè)班進(jìn)行，分別相當(dāng)于水平9～8，7～6和5～4（注：英國(guó)國(guó)家課程義務(wù)教育分為四個(gè)主要學(xué)段：第一學(xué)科（5～7歲）水平1～3；第二學(xué)段（7～11歲）水平2～6；第三學(xué)段（11～14歲）水平3～8；第四學(xué)段（14～16歲）水平4～10。）。對(duì)于教學(xué)評(píng)價(jià)，一方面注重多方面的評(píng)價(jià)，不但要看考試的分?jǐn)?shù)，而且注重教師在日常教學(xué)過程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查了解的情況；另一方面GCSE考試與階段末的國(guó)家統(tǒng)一考試，也都提供了不同水平不同要求的試卷。

(1)可選擇的學(xué)習(xí)任務(wù)是區(qū)別化教學(xué)的中心環(huán)節(jié)

區(qū)別化教學(xué)要求向?qū)W生提供適應(yīng)差異的不同的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式。每學(xué)年、每月、每周的學(xué)習(xí)計(jì)劃由教師來制定，但具體的教學(xué)計(jì)劃，強(qiáng)調(diào)師生的共同協(xié)商。盡管學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容不可能脫離教師的計(jì)劃和安排，但他們對(duì)各種具體的學(xué)習(xí)活動(dòng)有選擇的自由。

在所參觀的有些學(xué)校里，我們了解到所有的學(xué)生學(xué)習(xí)共同的教材，但按照不同的速度來學(xué)習(xí)。具體來說，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力把學(xué)習(xí)內(nèi)容處理成在廣度和深度上有一定差別的幾套學(xué)生活動(dòng)，學(xué)生被分成學(xué)習(xí)同一學(xué)科、不同程度的教材的幾個(gè)班，學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)情況從一個(gè)班轉(zhuǎn)到另一個(gè)班，甚至向高一年級(jí)升級(jí)也不受時(shí)間的限制，給他們創(chuàng)造自由發(fā)展的條件。

(2)靈活的分組是實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)區(qū)別化的有效形式

分組教學(xué)是區(qū)別化教學(xué)的基本形式。在課堂中進(jìn)行分組的標(biāo)準(zhǔn)是極其靈活的，學(xué)生的共同興趣、同等能力、不同能力、學(xué)習(xí)方法及在課堂中的位置都可成為分組的依據(jù)。而按不同能力組合的小組，由于小組成員間可以互相幫助而減輕了教師的負(fù)擔(dān)。英國(guó)課堂教學(xué)中集體講授的時(shí)間較少，學(xué)生在進(jìn)行自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)時(shí)，可互相詢問、討論。在課堂和講座之余會(huì)經(jīng)常安排一些小型的、非正式的小組指導(dǎo)，學(xué)生可以與教師自由交換意見和觀點(diǎn)，這也是一個(gè)鼓勵(lì)提出新觀點(diǎn)、新方法的學(xué)習(xí)過程。分組是介于班級(jí)授課和個(gè)別教學(xué)間的一種形式，是體現(xiàn)教學(xué)區(qū)別化的有效形式。

2.注重應(yīng)用

英國(guó)教育改革法認(rèn)為：學(xué)校必須提供寬廣而和諧的課程，一方面它應(yīng)促進(jìn)學(xué)生精神、道德文化、智力和身體的發(fā)展；另一方面應(yīng)為學(xué)生準(zhǔn)備好成年后生活工作的機(jī)會(huì)、責(zé)任感與經(jīng)驗(yàn)。從英國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)與內(nèi)容可以看出，他們首先考慮的是滿足所有學(xué)生今后生活和工作的需要，并不惜打破傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯體系，不僅將運(yùn)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)單獨(dú)列為一項(xiàng)成績(jī)目標(biāo)，而且貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程，成為其他四項(xiàng)目標(biāo)的靈魂與核心。

運(yùn)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)首先體現(xiàn)在將純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)（包括力學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)值方法等）結(jié)合成一門統(tǒng)一的數(shù)學(xué)學(xué)科，既體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，又體現(xiàn)出數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的橫向聯(lián)系。應(yīng)用數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在科學(xué)、建設(shè)、金融等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，合情合理的有趣的數(shù)學(xué)問題的研究探討有利于激發(fā)、保持學(xué)生學(xué)習(xí)的積極熱情，加強(qiáng)對(duì)純粹數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和解決問題的技巧，抽象的數(shù)學(xué)因其廣泛的來源背景和應(yīng)用去處顯得生動(dòng)形象。其次體現(xiàn)在日常教學(xué)中十分注意解決實(shí)際問題，包括提出問題、設(shè)計(jì)任務(wù)、做出計(jì)劃、收集信息、選用數(shù)學(xué)、運(yùn)用策略、獲得結(jié)論、檢驗(yàn)和解釋結(jié)果等等，而不是局限在書本上現(xiàn)成的“問題”。

我們聽了第6學(xué)級(jí)的數(shù)學(xué)課，教師十分重視“問題解決”，特別是培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，A水平的數(shù)學(xué)不僅專門開設(shè)了“問題解決”作為必修單元，而且由于微積分、概率統(tǒng)計(jì)、力學(xué)的引入拓寬了數(shù)學(xué)建模的范圍。有“微積分入門”中優(yōu)化問題（極大極?。┑臄?shù)學(xué)模型，“微積分方法”中列微分方程的數(shù)學(xué)模型，在“牛頓運(yùn)動(dòng)定律”單元的第一個(gè)課題也是“數(shù)學(xué)模型”，至于選修單元，更是顯著地研究?jī)纱笙盗校W(xué)、概率）中的大量數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)評(píng)價(jià)也反映了加強(qiáng)應(yīng)用的思想，GCSE考試不僅常規(guī)的筆試中有許多聯(lián)系實(shí)際的試題，而且還專門有一項(xiàng)課題作業(yè)，占總成績(jī)的20%，它是由實(shí)踐性和開放性作業(yè)組成的，主要考查運(yùn)用和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，包括口頭交流、討論數(shù)學(xué)思想、收集并處理數(shù)據(jù)等。例如交通路線的選擇：要求選用一條從倫敦到伯明翰耗時(shí)最短的路線。問題采用表格的形式，列出幾條鐵路經(jīng)過的城市名、千米數(shù)、火車時(shí)速，表格中已提供部分?jǐn)?shù)據(jù)，還有的需要考生計(jì)算后填入。考生只有通過正確計(jì)算填好這些表格，才能選擇出耗時(shí)最短的路線。再如土地和房屋面積的丈量問題，要求畫出平面圖，因?yàn)槠渲杏钟袔讉€(gè)各種形狀的小圖，只有逐個(gè)正確計(jì)算出小圖的面積，才能求出需要的面積。這種緊密聯(lián)系現(xiàn)實(shí)的題目，不僅使考生做起來趣味盎然，有助于培養(yǎng)他們現(xiàn)實(shí)生活中的計(jì)算能力，還能培養(yǎng)學(xué)生商品經(jīng)濟(jì)的意識(shí)，再例如2003年的GCSE樣卷，水平4有一份小型作業(yè)（“籃球”），其中有這樣一題：“約當(dāng)?shù)难ァ保杭s當(dāng)是芝加哥公牛隊(duì)的隊(duì)員，他身高2.01米，體重88千克，題中給出一張圖，畫出他的一只靴底的實(shí)樣和靴子的直觀圖（縮小的，標(biāo)出其高為19cm）。(1)求靴底的近似面積。(2)設(shè)計(jì)一只盒子，可裝這樣的一雙靴子。(3)畫出所設(shè)計(jì)盒子的展開圖，標(biāo)上必要的尺寸。

3.注重過程

英國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)從教材到教學(xué)活動(dòng)的組織上都突出學(xué)習(xí)過程，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)，特別是探究活動(dòng)。無(wú)論何種類型課，很少有教師講學(xué)生聽，多數(shù)是教師與學(xué)生一道參與一系列活動(dòng)，如實(shí)驗(yàn)、游戲、討論、讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，獲取知識(shí)。他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)各種數(shù)學(xué)結(jié)論包括公式、定理、法則等遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及我們數(shù)學(xué)教學(xué)那么注重，不僅數(shù)量少而且對(duì)于記憶的要求也不高，一個(gè)明顯的例子就是考試中許多基本公式，諸如三角形面積公式、一元二次方程求根公式等即使對(duì)于水平10也都附在試題前給出，他們更看重的是獲得知識(shí)的過程，注重對(duì)知識(shí)的理解和應(yīng)用，對(duì)一般規(guī)律的探究能力的培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

在洛瑞托學(xué)院（高中），數(shù)學(xué)系主任托曼在給11年級(jí)講微積分時(shí)，他舉了一個(gè)買車的例子：不同的人對(duì)買車有不同的理解，不同的人所偏好的車的類別也不同，但他們肯定有一點(diǎn)相同：那就是花盡量少的錢，買盡可能好的車！現(xiàn)在市場(chǎng)上有三種車：A.8000英鎊；B.9000英鎊；C.14500英鎊。約翰想買一輛汽車，他一共有9000英鎊。他到底該買哪輛車呢？如果他能從銀行貸款且他對(duì)C種車非常滿意，他也有可能買。我們假設(shè)他不能貸款，并且我們知道他對(duì)A種車的滿意度偏低，對(duì)B種車的滿意度較高，對(duì)C種車的滿意度最高，我們?nèi)匀粺o(wú)法確定他應(yīng)該買哪種車。

學(xué)生們?cè)诜e極地思考，他們?cè)囍鴱臄?shù)學(xué)的角度給出購(gòu)買決定的理由。托曼繼續(xù)講道：“我們假設(shè)約翰對(duì)各類汽車總體的滿意度主要取決于汽車的速度(S)和耐用性(Y)，約翰對(duì)速度偏好，而他父親更偏好耐用性，不同偏好可用不同的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示出來……”他停頓一下說：“這就是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用最為廣泛的微積分學(xué)！”這樣的引入由于與生活實(shí)際緊密相關(guān)、生動(dòng)有趣，一下子就調(diào)動(dòng)起學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。

然后，再提出問題：等，問學(xué)生能發(fā)現(xiàn)什么？有些學(xué)生發(fā)現(xiàn)了，舉手，教師走近俯首聽學(xué)生輕輕講述他的發(fā)現(xiàn)，可以看出學(xué)生流露出成功的喜悅。值得注意的是：在這堂課上，教師并沒有向全體學(xué)生說明問題的答案，更沒有給出平方差公式，而是布置一個(gè)作業(yè)：請(qǐng)學(xué)生將自己的發(fā)現(xiàn)用代數(shù)句子寫出來。教師認(rèn)為這樣做，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，記得牢。

據(jù)2006年的英國(guó)《衛(wèi)報(bào)》報(bào)道，英國(guó)教育大臣阿蘭·約翰遜宣布了一項(xiàng)耗資400萬(wàn)英鎊，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)感覺“酷”的計(jì)劃。約翰遜大臣將投入200萬(wàn)英鎊推廣互動(dòng)白板在教學(xué)中的應(yīng)用，鮑蘭德基金會(huì)已宣布為這個(gè)項(xiàng)目投入等額的經(jīng)費(fèi)，這項(xiàng)計(jì)劃旨在讓教師獲得更多激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的新穎的教學(xué)方法。通過許多“案例研究”題目，使學(xué)生迷上數(shù)學(xué)。這些題目所涉及的事物要能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，例如學(xué)生將思考，為了容納參加2012年倫敦奧運(yùn)會(huì)的所有運(yùn)動(dòng)員，需要在奧運(yùn)村修建多少套公寓；要制作一套時(shí)裝，一共需要多少原料等等。

我國(guó)正在推行新課程改革，盡管各國(guó)國(guó)情不同，但是我們面對(duì)同一個(gè)信息時(shí)代，面對(duì)同樣的挑戰(zhàn)，每個(gè)國(guó)家都希望在國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)中立于不敗之地，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身對(duì)人類普遍存在著智力價(jià)值、文化價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，“大眾化、生活化、活動(dòng)化、個(gè)性化”正是各國(guó)數(shù)學(xué)課程改革的普遍取向。英國(guó)的數(shù)學(xué)教育是在總結(jié)反思60年代的“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”，70年代的“回到基礎(chǔ)運(yùn)動(dòng)”，在得與失的基礎(chǔ)上，經(jīng)過三年的調(diào)研論證，逐步形成確立的，并在80年代的“問題解決”，90年代的“大眾數(shù)學(xué)”的浪潮中，經(jīng)受了考驗(yàn)，當(dāng)然英國(guó)數(shù)學(xué)教育特點(diǎn)的形成與完善離不開其文化背景、教育體制和考試制度。因此，在堅(jiān)持我國(guó)數(shù)學(xué)教育優(yōu)良傳統(tǒng)的前提下，認(rèn)真處理好繼承、借鑒、發(fā)展、創(chuàng)新之間的關(guān)系，吸收國(guó)外先進(jìn)的教育教學(xué)理念用于我國(guó)的新課程改革的實(shí)際是十分有必要的。